光子晶體是一由具有高低不同介電係數的介電材料或是金屬材料所組成的週期結構，其結構的週期性，可為一維、二維或是三維，如(圖一)所示。當其不同的介電係數相差夠大，且其週期或稱晶格常數（lattice constant）與所考慮光子的波長之量值相當時，所造成的強散射效應（strong scattering effect），便可能形成一光帶隙（photonic bandgap）。所謂光帶隙，為一模密度（density of mode）為零之波長或頻率的範圍。故當一光子的波長或頻率位於此光帶隙中，此光子便無法在此一光子晶體內傳播。如此一來，光子在此一光子晶體中的運動，就如同電子在一具禁帶隙（forbidden bandgap）之半導體中的運動一般，當光子的能量與傳播方向處於光帶隙中，其傳播便會受到限制。此一具有光帶隙的光子晶體，稱為光子帶隙晶體（photonic bandgap crystal；PBG）。

光子帶隙晶體中的光帶隙，有限制某頻率範圍的光在某些方向傳播的特性。如果當一光帶隙在某頻率範圍內，對任一空間方向皆能限制其光子的傳播，則此種光子晶體便具有全光帶隙（complete photonic bandgap）。最初，Eli. Yablonovitch於1987所提出的光子晶體之概念，就是源於此全光帶隙的特性，來限制光的幅射和完全抑制一個光源在此種光子晶體中的自發射（spontaneous emission）1,2。此外光子晶體除了有可限制光傳播的特性外，另一個與半導體類似的特性，就是可加入缺陷（defect）或是impurity於晶格中，而在光帶隙中產生局部模（local mode），例如增加或移走一些晶體子以破壞晶體的週期性，使得原本位於光帶隙中的光子可藉其局部模而傳播。這機制就如同半導體的doping一般，可在禁帶隙中產生能階。

《圖一　光子晶體為一在空間中具週期變化之幾何結構，其周期性可為(a)一維；(b)二維；(c)三維。》

本篇文章將就光子晶體的理論基礎及應用，作一簡單地介紹。

Maxwell's Equations in dielectric microstructure

光波與電子波其行為之類似性，可由規範其性質之基本Maxwells及Schrodinger equations來了解。光子或電磁波的產生與傳播，是由Maxwells' equations來描述與規範。考慮一頻率為ω的單色電磁波在一個介電係數ε不為常數的介電質中傳播，其中ε為一隨空間變化的函數，可表示如下：

《公式一》

其中為平均的介電係數而代表部份隨空間位置變化的介電值。由Maxwell's equations，描述電場的微分方程為：

《公式二》

而對一個電子在一位能中運動，其波動方程可由薛丁格方程（Schrodinger equation）來描述：

《公式三》

現在對公式二與公式三做一比對。公式二中前兩項如同公式三中的動能（kinetic energy）項，如同公式三中的位能項，而則是對應於公式三中的能量本徵值（energy eigenvalue）E。不過有所不同的是Maxwell波公式二中描述的是一向量場，而薛丁格公式三中所描述的是一純量場。

此外，從公式三可得知，當電子處於一定深度的位能中，其能量本徵值為負，而形成束縛態（bound states），可是對公式二而言，由於有公式一的限制，故光子的束縛態（localization of photon）不易形成，必須透過控制的分佈而且通常要夠大才能達成，其原因可從散射等效位能勢看出。

所以從量子力學的觀點來看，光子在一介電係數隨空間變化的dielectric microstructure內運動時，將如同受到一隨空間變化的位能的影響，而位能變化的大小與分佈，將有形成光子束縛態的可能。下面將討論當此位能的變化為一週期函數時，光子在如此microstructure內的行為，並引出光子晶體的概念。

光子晶體概念來源與Yablonovite

在研究散射問題時，當知道當一光子進入一週期結構或晶體時，如果其波長滿足布拉格條件（Bragg condition），則其入射面，就如同一完美鏡面（perfect mirror）可完全反射入射波，此為布拉格反射。對於晶體內不同的布拉格面（Bragg plane），則會有不同的(來滿足布拉格條件，所以會全反射不同方向的入射波，如(圖二)與(圖三)所示。利用X ray打在一晶體上所形成的布拉格反射的結果，可用來研究晶體的幾何結構。然而對於較長波長，如可見光的電磁波，其布拉格的散射效應便無法由晶體內的原子群來達成，必須藉由較大維度的週期結構，而其週期約與入射光的波長同一量級（~micron）來散射入射光。更進一步，如果這種micron級的週期結構，或稱photonic microstructure，其散射效應大到使不同的布拉格面相重疊，使得入射光不論從任一角度，都無法穿透此microstructure，有如一光子絕緣體（photonic insulator）般，如(圖四)所示，這便是光子晶體概念的來源。此想法是由Eli. Yablonovitch 1987所提出，且預測如此的週期結構，有存在如同半導體中禁帶隙（forbidden bandgap）的特性，使得在某一頻率範圍內，光子會被完全散射出來，無法進入microstructure中。

《圖二　當入射光其波長滿足Bragg condition時，不同的晶格面便會以不同的Bragg angle來全反射入射光》

《圖三　每一個Bragg plane會全反射一些小範圍的入射角，但這些範圍的入射角鮮少重疊》

《圖四　光子晶體的布拉格散射。每一個Bragg plane會全反射一大範圍的入射角，使得這些範圍的入射角相互重疊，如同一光子絕緣體般》 在某一範圍的波長或頻率內，光子不論以何種入射角入射，都將被如此的光子晶體完全散射出來，無法進入晶體中。

第一個製作成功的全光帶隙的光子晶體，是由Eli.Y ablonovitch在1991年於貝爾通訊研究所（Bell Communications Research）所產出。故因之稱為“Yablonovite”。透過一連串嘗試不同的介電材料和晶格常數，製作出的Yablonovite具有介於微波頻段的光帶隙。Yablonovite的結構是由三組不同方向的鑽洞，形成FCC的晶格所組成，其幾何結構如(圖五)所示。當基底材料的折射係數n為3.6且體積分率（volume fraction）約為22％時， Yablonovite在14～16GHz具有一全帶隙3。

《圖五　(a)Yablonovite是由三組不同方向的鑽洞所組成。每組洞和平面垂直方向成35o，並在方向各自差120o；(b)Yablonovite的三維結構圖》

光子晶體的製作

由於光子晶體是一種波長量級的週期結構，最簡易的選擇是利用兩種介電係數相很大的材料來組成。如果考慮微波頻段，則其晶格常數的量級為mm到cm的範圍，其光子晶體可利用一般製程來完成（如機械鑽洞）。但若是考慮在可見光或是近紅外線的頻段，則其製程的量級為次微米級。如何發展光子晶體的奈米級製程（nanofabrication）來精確地製作出如此微結構的晶體，在這幾年來已成為一個重要研究的方向與挑戰。目前有兩種主要的方法來製作奈米級的光子晶體，一是利用膠態粒子自組成（self-assembly of colloidal particles）的方法；另一個則是利用蝕刻石印（lithography combined with etching）的方法。

自主組法是利用濕化學合成（wet chemical synthesis）的途徑，使膠態粒子如SiO2或是ZnS，來自我組成不同的晶格，而來製作光子晶體。其中粒子的直徑可從小於100奈米到數個微米，故可用於可見光和近紅外線的頻段。

雖然自組成的方式，可製作極細微的結構，然而在長晶的過程中，不易控制晶格的一致性，而容易產生很多晶格缺陷，進而破壞其光帶隙結構。此外，由於膠態粒子的介電係數不高，所以也不易形成一全光帶隙。目前有一種解決介電係數太低的方法，即是在晶體中加入一些高介電係數的材料，如TiO2或是Si，然後再把原來晶體的粒子移除，而形成具有高介電係數差的反結構（inverse structure）。

另一個製作光子晶體的方法，是利用一個製成的石印罩（lithographic mask）置於一基板之上，再利用蝕刻的技術來製作光子晶體。而面罩上的洞孔，通常由電子束石印術（electron-beam lithography）所製成，故可極精確地控制洞孔的排列與大小。此技術特別可用在製作二維層狀的光子晶體上，且其孔徑可達100奈米。此外，由於此方法中使用蝕刻技術，所以可在光子晶體內加入缺陷，並可控制其形狀與位置，進而增大光子晶體的應用面，這是自組成的方法所無法達成的。

光子晶體的應用

由於光子晶體帶隙結構的特性和幾何結構極具多樣性，使得人們利用光子晶體來操控光子的能力將遠大於半導體操控電子的能力。且有鑑於半導體產業對人們生活的巨大影響，未來光子晶體的應用將會影響到各產業，尤其是光通訊產業。以下將介紹光子晶體未來的一些應用。

Photonic-crystal fibres（PCFs）

傳統的光纖是利用光在高介電係數的core內全反射的原理在其內傳播，為了避免在長距離傳播下的色散效應，所以通常core的面積必須小於80μm2，然而如此一來也限制了傳送的資料量。

利用二維的光子晶體製成的光纖photonic-crystal fibre（PCF）可解決此一問題。 PCF是由一玻璃的core外圍包覆一多孔層，如(圖六)所示。此結構就如同一中心有缺陷的二維光子晶體，在光帶隙中會產生一缺隙模，即使core的面積很大（~300μm2），PCF仍可以傳送單一模，如此便可大大提升資料的傳送量。另外，利用光帶隙的特性，也可設計一中空的PCF，如(圖七)所示。由於core為空氣（低介電係數），所以光在長距離傳送時仍具有極低損耗的優點。

《圖六　Photonic-crystal fibre》

《圖七　中空的Holey photonic-crystal fibre》

Photonic-Crystal Microcavities

在1946年，E.M. Purcell預測當放射材料（active materials）置於一大小為波長量級的microcavity中，其自發射（spontaneons emission）的效率將會改變。如(圖八)所示，為一photonic-crystal microcavity，其中在中心有一缺陷或可視為一microcavity。如此設計的microcarity在光帶隙中產生一缺陷模。當放射材料所發出光的波長符合缺陷模時，光會放射出來，其它波長的光則會被抑制，所以，以光子晶體形成的microcavity會發出一極窄頻寬的光且其自發射的效率將會被提高。(圖九)為一photonic-crystal microlaser結構示意圖，其microcavity的大小為30μm2。

《圖八　Photonic-crystal microcavity》

《圖九　Photonic-crystal microlaser》

此外，photonic-crystal microcavity窄頻的特性也可應用在光濾波器（filter）上，以便選擇一特定波長的光。因此整合不同波長的光濾波器可應用在dense-wavelength division multiplexing（DWDM）的通訊系統上。

高效率的LED

傳統上，LED的內部量子效率（internal quantum efficieney）很高，通常可達到99.7％，但卻因發光材料的高介電係數所造成的全反射，使得LED外部效率（external efficieney）很低，大約在2～4％。

如(圖十)所示，為一利用光子晶體所設計的LED。中央為發光區，外圍為一二維的光子晶體。可以調整光子晶體的幾何結構，使其光帶結構中的漏模帶（leaky mode bands）和發光材料的發光帶重疊。如此一來被限制在材料內的光便會耦合（couple）到漏模，因而能大大提高LED的外部效率。

《圖十　Photonic-crystal LED，(a)俯視圖，(b)側視圖》

積體光迴路（Integrated Photonic Circuits）

長久以來，人們一直希望能夠如積體電路一樣製作出積體光迴路。然而由於光纖在小範圍內大角度轉角上光的傳輸會有漏出的限制，使得整合性的光元件體積無法進一步地縮小。而光子晶體的出現，將可解決此一限制。如圖十一(a)所示，在一二維的光子晶體內，形成一線型缺陷（line defect）。由於光子晶體的帶隙結構，所以即使其轉角為90度，也可使得光波被侷限在線性缺陷內傳播。

此外透過光子晶體內不同缺陷的設計，可製作極小splitter，或是一波導內共振腔（resonator cavity），如圖十一(b)與(c)所示。如此一來，利用光子晶體特性的各種功能性的光元件，將可被整合在一小晶片內。

《圖十一　(a) sharp-bend waveguide (b) splitter (c) resonator》

未來的展望

自1991年起，第一個三維全光帶隙光子晶體Yablonovite問世以來，科學家已成功製作出奈米量級的光子晶體，並且設計出許多功能性的光子晶體。透過自組成的方式或是半導體製程技術的開發，使得多樣化的微結構得以實現。也由於理論分析的工具日趨成熟，使得科學家得以預測光子在光子晶體內的行為，並可輔助設計一些新奇的功能性光元件，以期進一步把這些元件整合成一光微晶片，來進行複雜的光“運算”。

在未來幾年內，預期高效率的photonic-crystal laser和 LED將會率先問世。而後，如微米級的photonic-crystal波導和高解析度的spectral filtering產品也將逐一問世。許多科學家甚至預測，在未來年25年內，將會出現第一個原型的光子電腦。

目前研究光子晶體的階段，就如電晶體問世前的階段一樣。如果目前的研究發展一直持續發展，光子晶體將如同半導體產業革命一般，在光資訊產業帶來一場前所未有的大革命。（作者任職於聯旭科技）