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由示波器操作介紹傅立葉理論及實作
 

【作者: Robert Witte】   2002年06月05日 星期三

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在示波器上增加量測/儲存模組就等於是加強波形對FFT的運算能力,而本文之實作介紹及操作將以內含量測/儲存模組的安捷倫54600系列示波器為示範說明。這些功能是在±(運算)鍵底下的軟鍵目錄中,此處有F1和F2兩種運算功能,FFT功能是存在F2 堶情A而F2能夠將F1當成運算單元,使得FFT可以呈現在F1的結果中。將F1設定在第一頻道 - 第二頻道,以及將F2設定在F1下,可以得到微分量測的FFT。(而量測/儲存模組操作手冊對這些運算功能提供更詳細的說明。)


最佳的頻域顯示方式

示波器能夠同時或分別地顯示時域波形以及頻域波形頻譜。在正常狀況下,取樣點彼此間是不相連的。如果想得到最佳的頻域顯示方式,這些取樣點應該要如同向量般連接成線。這可以用關閉時域頻道,而僅打開FFT功能來達到。第二種方法,在顯示目錄下可以打開向量軟鍵,同時按下stop鍵。上述任何一種方法能夠讓頻域取樣點藉著連接形成向量,而這種向量,在顯示幕上會看起來如同頻譜分析儀。


其中FFT螢幕的縱軸是對數,以dBV來顯示 (1分貝等於1 VRMS)


《公式一》
《公式一》

1 VRMS 的正弦波 (2.8伏特 peak-to-peak) 在FFT螢幕上為0 dBV。


某些儀器的使用者會用dBm (以1 mW)為單位來表示,當在示波器的輸入端阻抗為50Ω時,dBm的計算公式如下:


《公式二》
《公式二》

欲從示波器上dBV得到dBm,就是在dBV值加上13.01。(只有在電壓量測點上有一個50Ω的電阻器才成立)。


當在FFT下運作時,游標在縱軸可以讀出振幅(dBV),在橫軸可得到頻率(Hertz) (游標來源必須設定在F2)。按下FIND PEAKS鍵能夠自動將游標放置到兩條振幅最大的頻譜上。基本上,調整time/division旋鈕就可以控制FFT的展頻。在FFT目錄(在±鍵)中,對中心頻率及展頻有額外的控制項。雖然調整time/division旋鈕會改變展頻大小,但是就起始頻率而言(即螢幕上最左邊的頻率),基準點是不變的。而中心頻率及展頻控制項是用來放大某些欲觀察的頻率。


如果時域波形超過了示波器標線的上限或下限,示波器內部的波形數據將會被限制在最大或是最小的正常值。當波形被截斷時,在時域波形上會產生失真,因而做FFT轉換後,在頻域上也會相對應地有所失真。為了避免這種問題發生,示波器上的volts/div控制鈕必須要先作設定,調整到所有的波形可以同時出現在螢幕上。


示波器頻寬

示波器在高頻下會有非線性的反應現象(圖一)。此示波器保證在特定的頻寬內,頻域反應能力不會低於3 dB。


這意思即是在頻寬附近的正弦波會因為響應較差,而使得量測值低達30%。既然FFT是在時域數據上運算,因此換算前後,數據在時域以及頻域都會有誤差。


FFT運算能夠使顯示頻寬高達20 GHz。而既然示波器的輸入電路的頻寬遠比20 GHz還低,那麼FFT數值若超過20 GHz也沒有多大意義。然而,因為示波器的頻率響應並不會突然在某頻寬上限便結束,所以在頻寬以上某個範圍內的頻率成分依然能夠被識別出來。


《圖一 示波器的頻率反應隨著頻率增加而下降》
《圖一 示波器的頻率反應隨著頻率增加而下降》

動態範圍

頻域量測的動態範圍是最大信號與最小信號之間的落差值,通常以分貝來表示,這些信號是在同時間內被量測到的信號(圖二)。本範例中,最大量測到信號的定義是時域中8格全規尺度大小。


《圖二 頻域量測的動態範圍是同時間內量測到之最大與最小信號之間的落差值》
《圖二 頻域量測的動態範圍是同時間內量測到之最大與最小信號之間的落差值》

量測的雜訊位準能夠決定量測到的最小信號為何。我們無法辨識出低於雜訊的信號。而失真的情形或是取樣後的數據也同樣會限制動態範圍。


一般FFT量測的動態範圍是50 dB。在大多數與時間相關的設定下,動態範圍會受限於示波器的雜訊位準。在某些例子中,類似取樣過程的突波會限制動態範圍,正如這些突波會混淆正常的信號一樣。若藉由平均的方式來降低雜訊位準,以及減少取樣後的響應,就能夠適當地增加量測動態範圍。


取樣

安捷倫54603B示波器最大的取樣率是20 Msa/sec。時域的單點頻寬指定在取樣率的十分之一,在最高的頻率上每秒最少有10個取樣點。在20 μsec/div或慢於20 μsec/div的設定之下,就會得到較可靠的單點FFT運算功能。(若是設定更快的time/div,在一個觸發事件上無法獲得全時間的記錄,會造成不良的FFT量測。)以20 μsec/div運算,FFT會有最大的顯示頻率---5MHz,其中也定義了單點FFT的能力。


先前討論過,重覆取樣的技術能夠讓示波器將頻率遠超過5MHz的波形加以數位化,也就是說,FFT功能可以正確地運算出示波器頻寬以上的重覆波形頻率內容。


《圖三 在快於20 μsec/div的設定下,取樣週期產生的諧波項會持續出現,直到獲得完整的波形後才會消失》
《圖三 在快於20 μsec/div的設定下,取樣週期產生的諧波項會持續出現,直到獲得完整的波形後才會消失》

快於20 μsec/div的設定之下,取樣過程下轉換後,會產生不正確的數據,在頻域中也可能會出現(圖三)。這些產物可能會出現在取樣率的整數倍諧波頻譜上,或是出現在取樣週期與輸入頻率的交互調變中,其公式為:


《公式三》
《公式三》

另外,當時域波形只被截取部份時,會因為波形會遺漏掉取樣點,而在20 MHz的取樣週期下的諧波項出現在水平軸全尺度附近。而這些取樣點頻譜間的間距會與取樣率相當。當波形能夠全部地被截取下來,取樣週期所出現的突波響應會比較小,而且通常會消失。取樣週期與輸入頻率之間的交互調變通常都是高於50 dB。使用平均方法可以減少這些反應的程度。


應用1:正弦波形中的諧波失真

在時域中,波形不完整的正弦波會在頻域中產生諧波,而諧波失真會出現在正弦波的基頻的整數倍上。除非此波形變形地非常嚴重,否則要在時域中檢視此種失真通常是非常地困難。然而在頻域中,這些諧波是非常明顯的。


《圖四 在時域螢幕下的正弦波形》
《圖四 在時域螢幕下的正弦波形》

(圖四)顯示一個具有諧波失真的正弦波,其失真在時域中是看不到的。但是,FFT功能將能夠輕易地決定諧波失真的程度大小。圖四顯示一個能夠在時域中檢視信號的合理之time/div設定。假設FFT使用此較大的time/div設定來做轉換,與正弦波相關的頻譜將會出現在靠近頻域螢幕的左方。事實上,正弦波以及其諧波將會緊緊地集結在一起,以致於很難分辨。(圖五) 顯示一個較低的time-div設定,其將降低有效FFT的取樣率,但是會產生較佳的頻率解析度,以及比較能夠將正弦波的基頻與諧波分開來。另外,中心頻率和頻寬控制項可用來放大頻譜中的欲觀察的部分,如(圖六)所示。


《圖五 降低time/div設定會壓縮時域波形,並改善FFT的頻率解析度》
《圖五 降低time/div設定會壓縮時域波形,並改善FFT的頻率解析度》
《圖六 FFT螢幕顯示正弦波中的諧波失真現象》
《圖六 FFT螢幕顯示正弦波中的諧波失真現象》

請注意,在此量測中我們使用了flattop視窗,其結果是譜線較寬,但振幅的精確度較高。Find Peaks軟鍵是用來放置游標線於兩個振幅最大的頻譜上,而能得到基頻及二次諧波項的絕對值。兩個游標線也可得出相對的比較結果,其顯示二次諧波能量比基頻低了33 dB。


《圖七 示波器的控制項能夠用來放大時域中的副載波@小標:應用2:視訊脈衝串失真》
《圖七 示波器的控制項能夠用來放大時域中的副載波@小標:應用2:視訊脈衝串失真》

某些特例中,欲量測正弦波中的諧波失真現象,可以應用視訊方面來達成。內嵌於NTSC合成影像信號中的3.58 MHz副載波頻率,具有一些與副載波頻率相關連的諧波失真。欲量測此信號,可以使用示波器的time-div及延遲控制來放大時域中的副載波,如(圖七)所示。


如(圖八),FFT功能顯示副載波的諧波內容。如果time/div及延遲控制項沒有用來放大欲觀察的副載波,那麼,包含許多頻率成分的影像信號將會出現在頻域螢幕中。這些頻率成份將會混淆副載波及其諧波成份。此範例說明使用示波器的時域控制鈕來選擇選定的時間間隔作FFT分析。


《圖八  FFT功能顯示副載波的諧波內容低於副載波約31 dB》
《圖八 FFT功能顯示副載波的諧波內容低於副載波約31 dB》

應用3:雙音調頻率的識別

FFT功能的另外一種應用,是能夠辨識出時域上難以辨別的頻率成分。此種波形的範例如(圖九)所示的雙音調信號。在時域中檢視時,兩個諧波不相同的正弦波是呈現暫態而非穩態,所以如圖九所示的是讀取單次掃描的波形。在時域中,要估計出音調的頻率比較困難,若要辨識出多於二個音調的頻率幾乎是不可能的,但是FFT功能可以輕易地在頻域中分開兩個音調。


《圖九  時域中的雙音調信號》
《圖九 時域中的雙音調信號》

如(圖十)中,兩條頂端有游標線的頻譜可以很容易被分辨出間距為100 kHz。此範例中,我們使用了Hanning視窗,而使頻譜看來相對之下較細。這種視窗,能夠將頻率的解析度最佳化,很適合在這種情形下使用。由於在時域中兩個諧波不相同的正弦波是不穩定且非重覆的,所以必須使用單次取樣,而且本例中,在20 msec或是慢於20 msec的設定之下才會正確。


《圖十  FFT螢幕能夠辨識出兩個音調的頻率》
《圖十 FFT螢幕能夠辨識出兩個音調的頻率》
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