背景知識

在數位通信系統中，以位元編碼（一系列0或1表示）的資訊被從一個傳送端送到一或多個接收端。傳送端和接收端之間的傳輸介質（通道）可以是銅線、光纖、空氣(free space)等。多數數位通信系統的設計目標包括極大化的頻寬使用效率(maximize bandwidth efficiency)及極小化的位元錯誤率(BER)。

數位通信系統的一個基礎的特色是以位元編碼的資料（位元流，bit stream）和傳送器及接收器裡的各式電路元件間需要同步。位元同步(bit synchronization)的資訊通常以位元時脈（bit clock）來傳達，位元時脈是一個頻率（以Hz為單位）和data rate（以每秒bit數為單位）相同的方波信號。

位元流可以被用許多方式來編碼成電壓波形(voltage waveform)。一種最常被使用的位元編碼方式（也是本paper中使用的）是nonreturn-to-zero（NRZ）。在NRZ篇碼中，位元1用高電位（或高光能量），位元0用低電位（或低光能量）來表示。單一位元的時間長度（bit period）被稱為單位週期(unit interval，UI)。在同一位元流中，每一個位元的單位週期是相同的，而且是位元率(data rate)的倒數。例如622 Mbits/s的位元率之下，每個位元的單位週期是1/(622 ( 106 bit/s)=1.6ns。以NRZ方式編碼的位元流和位元時脈（bit clock）之間的關係表示如(圖一)。

《圖一　NRZ encoded bit stream》

一個基礎的問題是，如何將位元同步所需要資訊從傳送端送到接收端。直接傳送bit clock將會需要相當多額外的頻寬，而且易受通道中的各種影響導致在接收端時脈(clock)和資料(data)無法同步。在一般情形下，數位通信系統只傳送位元流而在接收端用clock and data recovery(CDR)電路重新產生位元時脈。位元時脈重新產生過程中的不完美，將導致時脈誤差(timing error)。這種時脈誤差被稱為時脈抖動(jitter)。

時脈抖動(jitter)的定義

jitter的兩種常見定義是：

"時脈抖動的定義，為數位信號中的重要事件(digital signal's significant instants)和它們在時間上理想的位置間的短期差異。重要事件可能是（舉例而言：SONET）最佳取樣時間(optimum sampling time)。"

及"事件和其理想發生時間(ideal timing)間的偏差值。對電信號來說，參考事件指的是differential zero crossing，對光信號的系統來說， nominal receiver threshold power level是其參考事件。"(fibre channel)

雖然這兩個（和其它許多）定義有不同點存在，注意基本的相同點是很重要的，那就是時脈抖動(jitter)是指一個事件的理想和實際發生的時刻的差別。被討論的事件依應用場合的不同可能改變，例如說可能是時脈信號的上升或下降時刻(rising or falling edge)、一個NRZ波形的最佳取樣時間、the differential zero crossing、或其它的東西。但是時脈抖動(jitter)指的就是一個事先定義的事件應該發生的時刻和實際發生的時刻之間的時差。

瞬間的時脈抖動(instantaneous jitter)

如同前述，jitter是依據特定事件的發生時刻來量測的。我們把這個事件定為事件E，它發生的時刻為tE。在大多數的應用實例裡，事件E會反覆地發生，我們將事件E的第n次發生稱做E[n]，而它的發生時刻表示為tE[n]。使用這些記號後，jitter的數學式定義可以寫成：

《公式一》

其中j[n]是該事件第n次發生時瞬間的時脈抖動。

舉例而言，我們考慮一個頻率為f Hz的時脈信號。理想上而言，這時脈信號的每一週期應該都正好是1/f秒。但由於熱及其它效應，時脈信號中可能會有些許的相位雜訊(random phase noise)。如果我們選擇時脈信號的上升緣(rising edge)做為探討的事件，當我們測量了一次上升緣的位置之後（我們把這次量測記作tE[0]），我們就可預次接下來每次上升緣應該發生的精確（或者說理想）時刻。即是

《公式二》

當我們測量了真正的時脈信號且得到了每個上升緣的實際發生時刻(tE[n]Actual)，我們就可依據(1)式來計算每個上升緣的瞬間的時脈抖動，j[n]。

量測的單位

時脈抖動在定義上是一種時間的量測。以picosecond(10-12 sec)為單位是常見的。在許多應用中，把時脈抖動對UI做正規化(normalize)可以帶來很多方便。正規化時脈抖動的計算方式是用時脈抖動除以UI，如(3)式所示。

《公式三》

平均值和峰對峰時脈抖動(peak-to-peak jitter)

就像平均功率比瞬間功率更常受重視一樣，時脈抖動也較常被以平均或峰對峰值的方式，而不是以瞬間值的方式被提及。

均方根法(root-mean-square method)常被用來計算平均時脈抖動的值，而以psrms 或UIrms為單位。下述的式子可由一連串獨立無相關的(uncorrelated) 瞬間時脈抖動的量測，得到估計的rms平均值：

《公式四》

《公式五》

在這些式子裡，(j 是時脈抖動的平均值，N是總共量測到的瞬間時脈抖動資料筆數，而(j是時脈抖動的rms值（又稱做標準差standard deviation或one-sigma）。

對一組共N個瞬間時脈抖動的測量值來說，峰對峰時脈抖動的計算方式是用量到的瞬間時脈抖動的最大值減去最小值，如式(6)。

《公式六》

peak-to-peak jitter量測的單位是psp-p 或 UIp-p。

jitter的種類

時脈抖動可以被分為兩種基本的種類，即隨機的時脈抖動(random jitter)和固定的時脈抖動(deterministic jitter)。Random jitter (RJ)是無法預測的且其機率分佈函數(Probability Distribution Function, pdf)為高斯分布。Deterministic jitter (DJ)是可預測的（假設我們預先知道位元流的特性）且有一定的強度極限 (amplitude limits)。RJ是由系統中的熱（或其它隨機的）雜訊干擾時脈的相位或資料信號造成的。DJ是因為系統中的程序或元件間的互動所造成，例如系統的頻寬有限，使得位元流中的特定的0和1的模式(pattern)受到影響。

(圖二)是一張受到過量的RJ影響的眼圖 (eye diagram)，它是由串接兩台MAX3265 evaluation kit並且用一個低於它的極限的信號來驅動第一台而產生的。(圖三)是一張表示過量的DJ的眼圖。這張圖是將MAX3825串接在MAX3822之前，並且故意用3.125 Gbps來驅動這些設備（高於設備保證的2.5Gbps）後，在MAX3822的輸出端得到的。Deterministic jitter又可分為幾個副種類，我們將它分成四類：

《圖二　Eye Diagram Showing Random Jitter》

《圖三　Eye Diagram Showing Deterministic》

第一類：

工作週期失真 (duty cycle distortion，DCD) 和脈衝寬度失真 (pulse-width distortion，PWD) 是同一件事情的不同名稱。（在本分文件中我們將之統稱為PWD）PWD可定義為高輸出（代表1）的脈衝寬度(pulse-width)和低輸出（代表0）的脈衝寬度之間的差。PWD會造成眼圖中交叉部分從垂直中點往上或下平移的失真。(圖四)表示一張受到PWD影響失真的眼圖，這張眼圖是故意將MAX3935 evaluation kit的輸出失真做成的。

《圖四　Eye Diagram Showing PWD》

PWD的定量定義是，用一個具有時脈信號模式（例如1 0 1 0）的輸入來驅動系統，量測高和低電位脈衝的寬度，然後使用下式：

《公式七》

PWD最常見的成因，是系統中差動輸入(differential input)間的voltage offset或波形上升時間(rise time)和下降時間(fall time)的不同。

第二類：

資料相依性時脈抖動 (Data Dependent jitter，DDJ) 和 Inter-Symbol Interference(ISI)是同一種時脈抖動的不同名字。這種jitter如(圖五)的眼圖所示，它也是由故意使evaluation kit MAX3869的輸出失真做成的。

《圖五　Eye Diagram Showing DDJ/ISI》

DDJ是由時域 (time domain) 來描述時脈抖動。它可定義為使得系統中的位元模式從clock-like形式的方波變成非clock-like的模式的時脈抖動。對每一個不同的位元模式來說，這種jitter都不同。

ISI則是由頻域(frequency domain)的觀點來看時脈抖動。它可被定義為因系統的頻寬的限制造成的脈衝形狀的擴散。當系統的頻寬比脈衝需求的頻寬大過許多時，脈衝擴散的程度很小。當系統的頻寬和脈衝需求的頻寬大致相同，或小過很多時，脈衝將會擴散到相臨的位元時間裡，造成相臨的脈衝波形失真。快速變動的位元模式（例如：1010……）在高頻部分需要較多的能量，而改變較慢的位元模式（例如：111111000000……）則在低頻部分需要較多的能量。如果系統在位元模式需要的頻帶有frequency cutoff的話，所造成的失真就稱作ISI jitter。換句話說，ISI jitter對每個不同的位元模式是不同的（這點和DDJ相同）。

DDJ/ISI可用來減少脈衝需要的頻寬（用pulse shaping的方式）或提升系統頻寬的方式來減輕。需要注意的是不論低頻或高頻的frequency cutoff都會造成DDJ/ISI。例如，一個過小的交流耦合（AC-coupling）電容會阻擋位元模式中夠多的低頻成分，造成DDJ/ISI，見(圖六)；同樣的，高頻截齗(high-frequency roll-off)太低的系統將會阻擋位元模式中的高頻成分，造成DDJ/ISI，見(圖七)。DDJ/ISI另一個可能的成因是peaking 及/或 ringing。

《圖六　Pattern-Dependent Jitter Due to Low-Frequency Cutoff》

《圖七　Pattern-Dependent Jitter Due to High-Frequency Roll-off》

第三類：

正弦時脈抖動 (sinusoidal jitter，SJ)使得位元流的每個上升緣和下降緣有不同量的時間位移。每個上升/下降緣時間的移動量依正弦模式改變。式(8)是正弦時脈抖動的數學描述。

《公式八》

在式(8)中，j[n]代表第n個上升/下降緣的瞬間時脈抖動，A是時脈抖動的強度(amplitude)，f是時脈抖動的頻率(frequency)，r是資料位元數率(data rate)，而(代表一個隨機的相位位移。正弦jitter在實際的系統中很少遇到，但在時脈抖動測試中則很廣泛地被使用。

第四類：

無相關性(uncorrelated)且有限 (bounded)的時脈抖動基本上是任何不屬於其它種類的deterministic jitter。它可被定義為是有限的(bounded)但和位元模式無關的時脈抖動。這種時脈抖動通常的原因是電源供應的雜訊和串音干擾。

關於標準差(RMS)和峰對峰時脈抖動的更多敘述

隨機的時脈抖動具有呈高斯分布的機率分佈函數，因此是無上下界的(unbounded)。高斯分布的機率分佈函數可用它的平均值(mean)和rms平均值(rms average)來完全描述。因為高斯分布機率分佈函數的尾端延伸到無限遠處，因此對任何一個上升和下降緣來說，它的瞬間時脈抖動都有很小但存在的機率是無限大的。因此，random jitter通常都以rms average來測量和表述（見5式）。隨機的時脈抖動的峰對峰量測是本質上模糊不清楚的，除非加上某些額外的邊界條件(boundary condition)。（見下述total jitter一節）

固定的時脈抖動(Deterministic jitter)依其定義有上界和下界。因此用峰對峰值來量測DJ就很直接。對DJ來說，rms平均是定義不清的，因為DJ的機率分佈函數可以是任何有界的(bounded)形式（DJ的rms平均值和任何特定的機率分佈函數是無相關的）。個別的系統元件的峰對峰時脈抖動可以直接相加，得到整體的最糟情形下的峰對峰時脈抖動。（見下述總和時脈抖動（Total jitter，TJ）一節）

個別系統元件的rms jitter量測不可直接相加，但可用平方和開根號的方式結合，如(9)式所示（式子與本段所述並不相符，式子中沒有平方，應為式子打錯)（其中σ表示rms平均值）

《公式九》

總和時脈抖動

TJ是DJ和RJ兩項元素的和。為了計算TJ，我們必須把所有的rms jitter (RJ)轉換成峰對峰的值。所有的峰對峰時脈抖動的子項即可相加得到總和時脈抖動的峰對峰值。

把rms jitter轉換成峰對峰時脈抖動可以用在RJ的機率分佈函數上加上任意給定的界限的方法。最常用的方法之一，就是依據系統要求的位元錯誤率來定出上述界限。用此法轉換rms jitter成峰對峰時脈抖動時，我們直接將rms jitter乘上一個α值，α值是依(表一)中適合的BER值查出。必須很注意的是，此法只適用於呈高斯分布的random jitter（此法也不適用於由峰對峰 DJ反算出rms jitter）。例如，如果系統的位元錯誤率要求是10-12而RJ是4psrms，換算出來的峰對峰時脈抖動是4psrms x 14.1 = 56.4pspeak-to-peak。（想要得到這個方法的更多細節，請見Maxim application note HFAN 4.0.2, Converting Between RMS and Peak-to-Peak Jitter at a Specified BER）

個別的系統元件的峰對峰時脈抖動值可以直接相加，但如此得到的是最糟的TJ數字而如此常常高估了TJ。這是因為對任何一個特定的系統的子元件(sub-component)來說，DJ的最大值會在流過該元件的位元模式對它的頻寬極限造成最大的壓力時發生。而RJ的最大值是亂數出現但不常發生的。因為每個系統元件都有獨特的頻寬特性，各個元件造成的DJ的最大值將在位元模式中的不同點發生，所以最大的DJ和最大的RJ同時發生的機率是很低的。把系統中各元件的峰對峰時脈抖動直接相加，得到TJ是依據所有的peak jitter同時發生的假設（這是一個不太可能發生的事件）。因此，量到的TJ總是小於等於由各子元件量得的峰對峰時脈抖動和。而且，如果系統的總RJ和DJ是分開測量的，量到的TJ將總是小於等於量到的peak-to-peak RJ和DJ的和。

由於TJ和RJ與DJ的和之間存在上述的不等式關係，同時明白表述這三個值是有困難的。為了克服這個困難，我們經常用與RJ或DJ其中之一（而不是兩者）一起表述TJ的方式。RJ或DJ中另一個沒有明述的量，則是用足以達到TJ的量的方式來表達。例如：「0.22UIrms 的RJ 加上足以達到0.6UI TJ 的DJ量」

表述系統的時脈抖動效能

系統元件的時脈抖動效能要求，是使用時脈抖動增生(jitter generation)、時脈抖動傳遞(jitter transfer)、時脈抖動容忍度(jitter tolerance)三個方面來表述。

脈抖動增生(jitter generation)

脈抖動增生的定義是加到信號中的時脈抖動量。這個參數通常是發信元件(transmitting component)，例如laser driver、serializer、line driver及時脈信號重建電路及limiting amplifier等在使用的。

時脈抖動傳遞(jitter transfer)

時脈抖動傳遞指的是輸入信號中的時脈抖動被轉送到輸出信號中的量。它通常用在特定時脈抖動頻率上的輸出時脈抖動(output jitter)對輸入時脈抖動(input jitter)的比來表示。時脈抖動傳遞這一項是用來表達regeneration component的表現，例如時脈信號重建電路，data retimer等。

時脈抖動容忍度(jitter tolerance)

收信元件在時脈抖動的影響下正確偵測輸入信號的能力稱作時脈抖動容忍度(jitter tolerance)。時脈抖動容忍度的定義是使得收到的信號的BER超過某個特定的臨界值(threshold)的輸入時脈抖動大小，它必須在幾個不同的時脈抖動頻率來測量。在不同的時脈抖動頻率測得的時脈抖動容忍度的量測值通常會畫成在一張時脈抖動頻率對jitter tolerance的圖上。時脈抖動容忍度通常用來描述接收元件的表現，例如時脈信號重建電路，deserializer等。

(作者任職於MAXIM Taiwan)